Врач после осмотра больного считает, что возможно одно из двух заболеваний М или N, причем степень своей уве-ренности в отношении правильности диагноза он оценивает как 40 и 60% соответственно. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, результат которого дает положительную реакцию при заболевании M в 90% случаев, а при N - 20%. Анализ дал положительную реакцию. Как изменится мнение врача после этого?

До проведения анализа у врача существуют два предположения:

H1 - у пациента заболевание M;

H2 - у пациента заболевание N;

Вероятности этих предположений врач оценивает как:

P (H1) = 0,4 - вероятность, что у пациента заболевание M;

P (H2) = 0,6 - вероятность, у пациента заболевание N;

Пусть событие A - положительный результат анализа;

Условные вероятности события A, анализ дает положительную реакцию при заболевании M в 90% случаев, а при N - 20%:

P (A|H1) = 0,9 - вероятность, что у пациента болезнь M, после получения положительного результата анализа;

P (A|H2) = 0,2; - вероятность, что у пациента болезнь N, после получения положительного результата анализа;

Тогда по формуле Байеса вероятность того, что у пациента есть это заболевание будет:

P (H1|A) = (P (A|H1) · P (H1)) / (P (A|H1) · P (H1) + P (A|H2) · P (H2)) =

= (0,9 · 0,4) / (0,9 · 0,4 + 0,2 · 0,6) = 0,75; - вероятность, что пациент болен M;

P (H2|A) = (P (A|H2) · P (H2)) / (P (A|H1) · P (H1) + P (A|H2) · P (H2)) =

= (0,2 · 0,6) / (0,9 · 0,4 + 0,2 · 0,6) = 0,25; - вероятность, что пациент болен N;

Ответ: Врач должен считать, что у пациента болезнь M с вероятностью 0,75 - это 75% и болезнь N с вероятностью 0,25 - это 25%;