исследовать функцию y=2x-1/x*x

y = (2x - 1) / x².

1) Область определения и область значений.

D (f) = R, х любое число, кроме нуля (в знаменателе не может быть 0).

E (f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0.

y = (2x - 1) / х².

2x - 1 = 0;

2x = 1;

x = 1/2;

График функции пересекает ось х в точке (1/2; 0).

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0.

у = (2 * 0 - 1) / 0². Делиь на ноль нельзя, точек пересечения с осью у нет.

3) Определим четность функции.

f (x) = (2x - 1) / х².

f ( - x) = (2 * (-x) - 1) / (-х) ² = (-2x - 1) / х².

f (x) не равно f (-x) и f (x) не равно - f (-x), значит функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

График функции пересекает ось х в точке (1/2; 0).

Определим знак функции на каждом промежутке:

(-∞; 1/2) пусть х = (-1), у = (2 * (-1) - 1) / (-1) ² = (-2 - 1) / 1 = - 3.

(19; + ∞) пусть х = 1, у = (2 * 1 - 1) / 1² = (2 - 1) / 1 = 1.

у > 0 на промежутке (-∞; 1/2).

у < 0 на промежутке (19; + ∞).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f (x) = (2x - 1) / х².

f' (x) = ((2x - 1) ' * х² - (2x - 1) * (х²) ') / х⁴ = (2x² - (2 х - 1) * 2 х) / х⁴ = (2x² - 4 х² + 2 х) / х⁴ = (2x - 2 х²) / х⁴ = (2 - 2 х) / х³.

Приравняем производную к нулю.

f' (x) = 0;

(2 - 2 х) / х³ = 0;

2 - 2 х = 0; 2 х = 2; х = 1.

(-∞; 1) пусть х = - 1; у' = (2 - 2 * (-1)) / (-1) ³ = 4 / (-1) = - 4, производная (-), функция убывает.

(1; + ∞) пусть х = 2; у' = (2 - 2 * 2) / 2³ = - 2/8 = - 1/4, производная (-), функция убывает.

Значит, функция убывает на всей своей протяженности.