Известно, что sin t + cos t = 0,5 найти tg^2 t + ctg^2 t

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус, получим:

tg² t + ctg² t = sin² t / cos² t + cos² t / sin² t = (sin4 t + cos4 t) / (sin² t * cos² t).

Возводим в квадрат выражение sin t + cos t = 0,5 и находим значение sin t * cos t, получим:

sin² t + 2 * sin t * cos t + cos² t = 1 / 4,

sin t * cos t = - 3 / 8.

Дополним выражение sin4 t + cos4 t до полного квадрата суммы, получим:

sin4 t + 2 * sin² t * cos² t + cos4 t - 2 * sin² t * cos² t = (sin² t + cos² t) ² - 2 * sin² t * cos² t = 1 - 2 * (-3 / 8) ² = 1 - 9 / 32 = 27 / 32.

(27 / 32) / (sin² t * cos² t) = (27 / 32) / (-3 / 8) ² = - 6.

Ответ: - 6.