при каких значениях параметра a уравнение 9^x+3^x+a^2-14a=0 имеет единственный корень

1. Решим квадратное уравнение относительно 3^x:

9^x + 3^x + a^2 - 14a = 0;

(3^x) ^2 + 3^x + a^2 - 14a = 0;

D = 3^2 - 4 (a^2 - 14a) = - 4a^2 + 56a + 9;

3^x = (-3 ± √D) / 2;

a) 3^x = (-3 - √D) / 2 < 0, не имеет решений.

b) 3^x = (-3 + √D) / 2; (1)

Уравнение (1) будет иметь единственное решение при условии:

-3 + √D > 0;

√D > 3;

D > 9;

-4a^2 + 56a + 9 > 9;

-4a^2 + 56a > 0.

2. Разделим неравенство на - 4, изменив знак неравенства:

a^2 - 14a < 0;

a (a - 14) < 0;

a1 = 0; a2 = 14;

a ∈ (0; 14).

Ответ: (0; 14).