4-4 (cos x - sin x) - sin 2x=0

Для нахождения корней уравнения: cos x - 2sin2x * sin x - 4 cos2x - 4sin² x = 0 используем следующие основные тригонометрические тождества:

cos2x = cos²x - sin²x, sin2x = 2sin x * cos x и sin²x = 1 - cos²x.

cos x - 2 (2sin x * cos x) * sin x - 4 * (cos²x - sin²x) - 4sin² x = 0;

cos x - 4sin²x * cos x - 4cos²x + 4sin²x - 4sin²x = 0;

cos x - 4 (1 - cos²x) * cosx - 4cos²x = 0 → 4cos³x - 4cos²x - 3cosx = 0. Вынесем cosx за скобки:

cosx * (4cos²x - 4cosx - 3) = 0. Если cosx = 0, то x₁ = ± 2πk, k∈ Z.

Если 4cos²x - 4cosx - 3 = 0, сделаем подстановку, y = cos x → 4y² - 4y - 3 = 0.

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

вычислим дискриминант равен: D = 16 + 4 * 3 * 4 = 64 → y₁ = 3/2; y₂ = 1.

Так как косинус угла не больше 1, то корень 3/2 посторонний корень.

Значить cosx₂ = - 1/2; x₂ = - 1/2, x = ± 4π/3 + 2πk, k∈ Z.

Ответ. x₁ = ± 2πk, k∈ Z, x₂ = ±4π/3 + 2πk, k∈ Z.