Вычислить интеграл методом постановки [ dx / (1+e^x)

Рассмотрим интеграл ∫ (1 / (1 + е^х)) dx, которого обозначим через А. Сделаем подстановку u = 1 + е^х. Тогда du / dx = (1 + е^х) ' = е^х, откуда dx = е^х * du. Тогда А = ∫ (1 / (u * (u - 1))) du. Разложим дробь 1 / (u * (u - 1)) на простейшие. Легко доказать, что 1 / (u * (u - 1)) = 1 / (u - 1) - 1 / u. Применяя свойства интегралов, получим А = ∫ (1 / (u - 1)) du - ∫ (1 / u) du. Воспользуемся формулой ∫ (1 / х) dх = ln|x| + C, где С - постоянная величина. Тогда А = ln|u - 1| - ln|u| + C. Учитывая, что u = 1 + е^х, сделаем обратную замену. Ясно, что u - 1 = е^х. Итак, А = ln|е^х| - ln|1 + е^х| + C = x - ln (1 + е^х) + C.

Ответ: x - ln (1 + е^х) + C.