При каком параметре m система уравнений x²+y+2=0 x²+y²=m Имеет одно решение и три решения

1. Решим систему методом подстановки:

{x^2 + y + 2 = 0; (1)

{x^2 + y^2 = m; (2)

y = - (x^2 + 2);

x^2 + (x^2 + 2) ^2 = m;

x^2 + x^4 + 4x^2 + 4 = m;

x^4 + 5x^2 - m + 4 = 0;

2. Обозначим:

x^2 = z;

z^2 + 5z - m + 4 = 0. (3)

a) система имеет одно решение, если уравнение (3) имеет корень z = 0:

0^2 + 5 * 0 - m + 4 = 0;

- m + 4 = 0;

m = 4.

При этом значении m получим уравнение:

z^2 + 5z = 0;

z (z + 5) = 0;

z = 0; z = - 5;

x^2 = - 5, нет решения;

x^2 = 0;

x = 0;

y = - (x^2 + 2) = - 2;

(0; - 2) - единственный корень.

b) система имеет три решения, если уравнение (3) имеет два корня:

z1 = 0;

z2 > 0.

Однако это невозможно, т. к. при z = 0 система имеет один корень.

Ответ:

1) один корень - при m = 4; 2) три корня - нет такого значения m.