Доказать, что 4 точки лежат в одной плоскости: A (1, 2, - 1) B (0, 1, 5) C (-1, 2, 1) D (2, 1, 3)

Сначала составим уравнение плоскости, проходящей через любые три точки, например, через точки А, В и С. Уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; 2; - 1), будет: α * (х - 1) + β * (у - 2) + γ * (z - (-1)) = 0, где α, β и γ - коэффициенты, которых можно определить используя тот факт, что на этой плоскости лежат ещё две точки В (0; 1; 5) и С (-1; 2; 1). Условия прохождения плоскости через точки В и С можно оформить с помощью следующих равенств: α * (0 - 1) + β * (1 - 2) + γ * (5 - (-1)) = 0 и α * (-1 - 1) + β * (2 - 2) + γ * (1 - (-1)) = 0. Упростим эти условия: - α - β + 6 * γ = 0 и - 2 * α + 2 * γ = 0. Последнее равенство позволяет утверждать, что α = γ. Используя это равенство, находим, что β = 5 * γ. Таким образом, выяснили, что α : β : γ = 1 : 5 : 1. Подставляя вместо α, β и γ в уравнение плоскости (см. п. 1) пропорциональные им числа 1, 5 и 1, получим 1 * (х - 1) + 5 * (у - 2) + 1 * (z + 1) = 0 или х + 5 * у + z - 10 = 0. Для того, чтобы доказать, что и точка D (2; 1; 3) лежит на плоскости, нужно подставить координаты этой точки в уравнение плоскости. Тогда имеем 2 + 5 * 1 + 3 - 10 = 2 + 5 + 3 - 10 = 0. Это доказывает, что и точка D лежит на плоскости.