Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), если b2=4, b5=1/2

Дано: (b_n) ... - геометрическая прогрессия;

b₂ = 4; b₅ = 1/2;

Найти: S₅ - ?

Формула члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ * q^ (n - 1),

где b₁ - первый член геометрической прогрессии, q - её знаменатель, n - количество членов прогрессии.

С помощью этой формулы запишем второй и пятый члены заданной прогрессии:

b₂ = b₁ * q^ (2 - 1) = b₁ * q;

b₅ = b₁ * q^ (5 - 1) = b₁ * q^4.

Составим систему уравнений:

b₁ * q = 4, (1)

b₁ * q^4 = 1/2 (2)

Из (1) уравнения выразим b₁:

b₁ = 4 : q.

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

4 : q * q^4 = 1/2;

4 * q^3 = 1/2;

q^3 = 1/8;

q = ±1/2.

Исходя из того, что пятый член прогрессии положительный, можем сделать вывод, что q>0, т. е. q = 1/2.

Теперь, подставим полученное значение знаменателя прогрессии q в выражение для нахождения b₁:

b₁ = 4 : q = 4 : 1/2 = 8.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

S_n = (b_n * q - b₁) / (q - 1);

Значит, S₅ = (b₅ * q - b₁) / (q - 1) = ((1/2) * (1/2) - 8) / ((1/2) - 1) = (-7,75) / (-0,5) = 15,5.

Ответ: S₅ = 15,5.