3ctg^2 (3pi/2+x/3) - 2tg x/3=1

1. Воспользуемся формулами приведения:

3ctg² (3π/2 + x/3) - 2tg x/3 = 1;

а) ctg (3π/2 + x/3);

- функция меняется на противоположную;

- угол (3π/2 + x/3) находится в четвертой четверти, котангенс отрицательный;

ctg (3π/2 + x/3) = - tg x/3;

Значит, ctg² (3π/2 + x/3) = ctg (3π/2 + x/3) * ctg (3π/2 + x/3) = ( - tg x/3) ( - tg x/3) = tg² x/3;

2. Подставим полученный значения:

3tg² x/3 - 2tg x/3 = 1;

3. Выполним замену tg x/3 = у:

3y² - 2y = 1;

3y² - 2y - 1 = 0;

4. Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 2) ² - 4 * 3 * ( - 1) = 4 + 12 = 16;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (2 - √16) / 2 * 3 = (2 - 4) / 6 = - 2 / 6 = - 1/3;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (2 + √16) / 2 * 3 = (2 + 4) / 6 = 6 / 6 = 1;

5. Тогда, если у2 = 1, то:

tgx/3 = 1;

х/3 = arctg (1) + πn, n ∈ Z;

x/3 = π/4 + πn, n ∈ Z;

x1 = 3π/4 + 3πn, n ∈ Z;

если у1 = - 1/3, то:

tgx/3 = - 1/3;

х/3 = arctg ( - 1/3) + πn, n ∈ Z;

х/3 = - arctg (1/3) + πn, n ∈ Z;

х2 = - 3 * arctg (1/3) + 3πn, n ∈ Z;

Ответ: x1 = 3π/4 + 3πn, n ∈ Z, х2 = - 3 * arctg (1/3) + 3πn, n ∈ Z.