Найти производные функции: 1) y=ctgx + 3x 2) y=1/x^4 3) y=4 корень квадратный из x + x^4 4) y=e^x sinx 5) y = (e^x) ^2 6) y = (2+x) : (x-2)

Для вычисления производной функции, нужно сначала применить формулу производной сложной функции, а затем формулу производной простой функции.

1) y = ctg x + 3 * x;

y ' = (ctg x + 3 * x) ' = (ctg x) ' + (3 * x) ' = - 1/sin^2 x + 3 * 1 = - 1/sin^2 x + 3;

2) y = 1/x^4;

y ' = (1/x^4) ' = - 4 * x^ (-4 - 1) = - 4/x^5;

3) y = 4√x + x^4;

y ' = (4 * √x + x^4) ' = 4 * 1 / (2 * √x) + 4 * x^ (4 - 1) = 2/√x + 4 * x^3;

4) y = e^x * sin x;

y ' = e^x * sin x + cos x * e^x = e^x * (sin x + cos x);

5) y = (e^x) ^2;

y ' = 2 * e^x * 1 = 2 * e^x;

6) y = (2 + x) / (x - 2) = (x + 2) / (x - 2);

y ' = ((x + 2) / (x - 2)) ' = (1 * (x - 2) - 1 * (x + 2)) / (x - 2) ^2 = (x - 2 - x - 2) / (x + 2) ^2 = - 4 / (x + 2) ^2.