Найдите производную: sin6x/ctg2x

Рассмотрим тригонометрическую функцию у = sin (6 * x) / ctg (2 * x). По требованию задания, найдём производную данной функции. Прежде всего, предположим, что рассматриваются такие углы х, для которых данная функция имеет смысл. Анализ данной функции показывает, что она является дробной функцией. Воспользуемся следующей формулой производной дроби (u / v) ꞌ = (uꞌ * v - u * vꞌ) / v². Имеем: y' = (sin (6 * x) / ctg (2 * x)) ' = ((sin (6 * x)) ' * ctg (2 * x) - sin (6 * x) * (ctg (2 * x)) ') / ctg² (2 * x). Далее, учитывая правило дифференцирования сложной функции, применим формулы (sinu) ' = cosu * u', (ctgu) ' = (-1 / sin²u) * u' и (uⁿ) ꞌ = n * uⁿ ^{- 1} * uꞌ, (С * u) ꞌ = С * uꞌ, Сꞌ = 0, где n и С - постоянные. Имеем: y' = (cos (6 * x) * (6 * x) ' * ctg (2 * x) - sin (6 * x) * (-1 / sin² (2 * x)) * (2 * x) ') / ctg² (2 * x) = (6 * cos (6 * x) * ctg (2 * x) + 2 * sin (6 * x) / sin² (2 * x)) / ctg² (2 * x).

Ответ: (6 * cos (6 * x) * ctg (2 * x) + 2 * sin (6 * x) / sin² (2 * x)) / ctg² (2 * x).