В арифметической прогрессии сумма третьего и седьмого членов равна 2, а сумма пятого и десятого 13. Найдите сумму первых двадцати членов прогрессии.

Воспользуемся формулой n - ного члена геометрической прогрессии.

a_n = a₁ + d * (n - 1), где а₁ - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

a₃ = a₁ + d * (3 - 1) = a₁ + 2 * d *.

а₇ = a₁ + d * (7 - 1) = a₁ + 6 * d *.

Тогда a₁ + 2 * d + a₁ + 6 * d = 2 * a₁ + 8 * d = 2. (1).

а₅ = a₁ + d * (5 - 1) = a₁ + 4 * d *.

а₁₀ = a₁ + d * (10 - 1) = a₁ + 9 * d *.

Тогда a₁ + 4 * d + a₁ + 9 * d = 2 * a₁ + 13 * d = 13. (2).

Из уравнения 2 вычтем уравнение 1.

13 * d - 8 * d = 13 - 2.

5 * d = 11.

d = 11 / 5 = 2,2.

2 * a₁ + 8 * 2,2 = 2.

a₁ = - 15,6 / 2 = - 7,8.

а₂₀ = - 7,8 + 2,2 * 20 = 36,2.

Определим сумму первых двадцати членов прогрессии.

S₂₀ = 20 * (а₁ + а₂₀) / 2 = 10 * (-7,8 + 36,2) = 284.

Ответ: Сумма двадцати членов равна 284.