Докажите, что выражение х^2-14x+51 принимает положительные значения при всех значениях х.

Преобразуем выражение х² - 14x + 51, выделив в его составе полный квадрат.

Воспользуемся для этого формулой квадрата разности (a-b) ² = a² - 2 * a * b + b².

Представив в исходном выражении число 51 как сумму чисел 49 и 2, получаем:

х² - 14x + 51 = х² - 14x + 49 + 2 = х² - 2 * 7 * x + 7² + 2 = (х - 7) ² + 2.

Полученное выражение является суммой квадрата величины х - 2 и положительного числа 2.

Поскольку квадрат любого вещественного числа всегда больше или равен нулю, то сумма квадрата любого числа и некоторого положительного числа всегда больше нуля.

Следовательно, исходное выражение х² - 14x + 51 принимает положительные значения при всех значениях х.

Рассмотрим функцию

у = х² - 14 х + 51

Это квадратичная функция (есть х в квадрате), график этой функции - парабола. Рассмотрим коэффициент (число, стоящее перед х²), у нас там ничего нет, а значит, коэффициент равен единице, то есть положителен. Это говорит о том, что ветви параболы направлены вверх. Чтобы узнать, как располагается график относительно оси х, нужно найти нули функции. Находим нули функции

Чтобы найти точку (или точки) пересечения графика функции с осью х, нужно у приравнять к нулю.

х² - 14 х + 51 = 0

Решаем получившееся квадратное уравнение через дискриминант, корни этого уравнения и будут значением точки пересечения с осью х.

D = 14² - 4 * 1 * 51 = 196 - 204 = - 8

Дискриминант получился отрицательным, значит корней данного квадратного уравнения нет.

Смотрим расположение графика функции

Раз нет корней уравнения, значит нет точек пересечения с осью х. Значит, весь график функции располагается либо выше, либо ниже оси х.

У нашей параболы ветви вверх, значит, что ниже оси х она не может располагаться (иначе она рано или поздно пересечет ось х). Парабола находится выше оси х.

А выше оси х - это только положительные значения у. Что и требовалось доказать.