1. Имеется 3 одинаковых урны. В первой 11 белых и 7 красных шаров, во второй 4 белых и 5 красных, в третьей 8 белых и 10 красных шаров. Из наудачу выбранной урны взяли 2 шара. Они оказались белыми. Найти вероятность того, что извлечение произведено из первой урны.

В первой урне всего 11 + 7 = 18 шаров.

Во второй урне всего 4 + 5 = 9 шаров.

В третьей урне всего 8 + 10 = 18 шаров.

Пусть выдвинуты гипотезы:

Гипотеза H1 - два шара извлечены из первой урны.

Гипотеза H2 - два шара извлечены из второй урны.

Гипотеза H3 - два шара извлечены из третьей урны.

А - событие такое, что 2 извлечённых шара белые.

Вероятности выдвинутых гипотез:

P (H1) = 1/3;

P (H2) = 1/3;

P (H3) = 1/3;

Условная вероятность события A при выполнении гипотезы H1:

P (A|H1) = 11/18 · 10/17 = 55/153;

Условная вероятность события A при выполнении гипотезы H2:

P (A|H2) = 4/9 · 3/8 = 1/6;

Условная вероятность события A при выполнении гипотезы H3:

P (A|H3) = 8/18 · 7/17 = 28/153;

По формуле Байеса вероятность, что белые шары извлечены из первой урны:

P (H1|A) = P (H1) · P (A|H1) / (P (H1) · P (A|H1) + P (H2) · P (A|H2) + P (H3) · P (A|H3)) =

= 1/3 · 55/153 / (1/3 · 55/153 + 1/3 · 1/6 + 1/3 · 28/153) = 0,12 / (0,12 + 0,056 + 0,061) = 0,12 / 0,237 = 0,506.

Ответ: Вероятность гипотезы H1, что два шара были вынуты из первой урны 0,506.