Найти точку на параболе y=x^2-3x+6, в которой касательная составляет угол 45 (градусов) с осью ox. записать в этой точке уравнения касательной и нормали.

Рассмотрим функцию y = x² - 3 * x + 6. Как известно, эта функция определена для всех х ∈ (-∞; + ∞) и её графиком на координатной плоскости Оху является парабола с ветвями, направленными вверх и вершиной с координатами (3/2; 15/4). По требованию задания, сначала, на данной параболе найдём точку, в которой касательная составляет угол 45° с положительным направлением оси Ox. Как известно, уравнение касательной к графику функции f (x) в точке x₀ имеет вид: у = f (x₀) + f ' (x₀) * (x - x₀). Для нашей функции f (x) = х² - 3 * х + 6, получим: f Ꞌ (x) = (х² - 3 * х + 6) Ꞌ = 2 * х - 3 и f ' (x₀) = 2 * x₀ - 3. Следовательно, уравнение касательной к графику нашей функции f (x) в точке x₀ имеет вид: у = f (x₀) + (2 * x₀ - 3) * (x - x₀) = (x₀) ² - 3 * x₀ + 6 + (2 * x₀ - 3) * х - (2 * x₀ - 3) * x₀ = (2 * x₀ - 3) * х - (x₀) ² + 6, то есть, у = (2 * x₀ - 3) * х - (x₀) ² + 6. Полученное уравнение является уравнением с угловым коэффициентом, равным 2 * x₀ - 3. По определению, угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона заданной прямой. Учитывая условие задания о том, что касательная составляет угол 45° с положительным направлением оси Ox, имеем: 2 * x₀ - 3 = tg45° = 1. Следовательно, 2 * x₀ = 4, откуда x₀ = 4 : 2 = 2. Тогда, у₀ = f (x₀) = 2² - 3 * 2 + 6 = 4 - 6 + 6 = 4. Таким образом, искомая точка имеет координаты (2; 4). Соответственно, уравнение касательной: у = х + 2. По требованию задания, уравнение нормали, проходящей через точку касания. Воспользуемся уравнением нормали к графику функции f (x) в точке x₀, которое имеет вид: у = f (x₀) - (1 / f ' (x₀)) * (x - x₀). Поскольку x₀ = 2, f (x₀) = 4 и f ' (x₀) = 1, то получим: у = 4 - (1/1) * (х - 2) или у = - х + 6.

Ответы: (2; 4), у = х + 2 и у = - х + 6.