Решите систему уравнений x^2+y^2=10 xy=3

Система уравнений:

x ^ 2 + y ^ 2 = 10;

x * y = 3;

1) Из второго уравнения получим: x * y = 3;

x = 3 / y;

2) Подставим х = 3 / у в первое уравнение, то есть получаем:

(3 / у) ^ 2 + y ^ 2 = 10;

3 ^ 2 / y ^ 2 + y ^ 2 = 10;

3 ^ 2 / y ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 2 * y ^ 2 = 10 * y ^ 2;

3 ^ 2 + y ^ 2 * y ^ 2 = 10 * y ^ 2;

y ^ 4 - 10 * y ^ 2 + 9 = 0;

Пусть y ^ 2 = a, тогда:

a ^ 2 - 10 * a + 9 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b ^ 2 - 4ac = (-10) ^ 2 - 4·1·9 = 100 - 36 = 64;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

a1 = (10 - √64) / (2·1) = (10 - 8) / 2 = 2 / 2 = 1;

a2 = (10 + √640 / (2·1) = (10 + 8) / 2 = 18 / 2 = 9;

Тогда:

y ^ 2 = 1 и y ^ 2 = 9;

y1 = 1;

y2 = - 1;

y3 = 3;

y4 = - 3;

x1 = 3 / 1 = 3;

x2 = 3 / ( - 1) = - 3;

x3 = 3 / 3 = 1;

x4 = 3 / ( - 3) = - 1;

Ответ: (3; 1), ( - 3; - 1), (1; 3), ( - 1; - 3).