Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений. Задача 1. Пройдя 12 км, лыжник уменьшил скорость на 3 км/ч и проехал ещё 30 км. Найдите первоначальную скорость лыжника, если на весь путь он потратил 3 часа.

Решить можно с помощью уравнения, приняв первоначальную скорость лыжника за х км/ч.

Тогда времени на первую часть пути лыжник потратил:

t = s / v = 12 / х (ч).

Время на вторую часть пути:

t = s / v = 30 / (х - 3) ч.

Всего времени на весь путь ушло 3 часа:

(12/х) + (30 / (х - 3)) = 3;

(12 * (х - 3) + 30 * х) / (х * (х - 3)) = 3;

(12 * х - 36 + 30 * х) / (х * (х - 3)) = 3;

(42 * х - 36) / (х² - 3 * х) = 3;

42 * х - 36 = 3 * (х² - 3 * х);

42 * х - 36 = 3 * х² - 9 * х;

3 * х² - 9 * х - 42 * х + 36 = 0;

3 * х² - 51 * х + 36 = 0;

Чтобы уменьшить числа, с которыми предстоит оперировать, разделим обе части уравнения на 3. Корни уравнения от этого не изменятся:

х² - 17 * х + 12 = 0;

Уравнение приведено к виду a * x² + b * x + c = 0, где а = 1; b = - 17; с = 12.

Такое уравнение имеет 2 решения:

х₁ = ( - b - √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (17 - √‾ ((-17) ² - 4 * 12)) / (2 * 1) = (17 - √‾ (289 - 48)) / 2 = (17 - √‾241) / 2 ≈ (17 - 15,5242) / 2 = 1,4758 / 2 = 0,7379;

х₂ = ( - b + √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (17 + √‾ ((-17) ² - 4 * 12)) / (2 * 1) = (17 + √‾ (289 - 48)) / 2 = (17 + √‾241) / 2 ≈ (17 + 15,5242) / 2 = 32,5242 / 2 = 16,2621;

Если подставить полученные корни в уравнение, получим:

х₁ = 0,7379;

(12/х) + (30 / (х - 3)) - 3 = (12 / 0,7379) + (30 / (-2,2621)) - 3 = 0;

Получается, что время, затраченное на вторую часть пути, отрицательная величина, чего быть не может.

х₂ = 16,2621;

(12/х) + (30 / (х - 3)) - 3 = (12 / 16,2621) + (30 / 13,2621) - 3 ≈ 0,7379 + 2,2621 - 3 = 0;

Равенство выполняется, противоречий нет.

Ответ: первоначальная скорость лыжника составляет 16,2621 км/ч.