Составьте уравнение касательной к графику функции y=x^3+2x в точке с абсциссой x0=-1

Уравнение касательной к к графику функции f (x) в точке х = х0 имеет следующий вид:

у = f' (x0) * (х - х0) + f (x0).

Следовательно, для того, чтобы записать уравнение касательной к графику некоторой f (x) в точке х = х0, необходимо:

найти, чему равна производная данной функции f' (x); вычислить значение производной этой функции в точке х0; вычислить значение самой функции в точке х0; записать уравнение касательной.

При решении данной задачи будем действовать по этой схеме.

Находим производную функции f (x) = x³ + 2x

Для нахождения производной данной функции воспользуемся следующими фактами:

производная суммы функций равна сумме сумме производных этих функций; производная от произведения функций и некоторого числа равна произведению этого числа и производной функции; производная степенной функции у = х^р вычисляется по формуле у' = pх^р-1.

Используя данные утверждения, находим производную функции y = x³ + 2x.

Данная функция является суммой двух функций у = x³ и у = 2 х.

Производная первой функции равна:

у' = (x³) ' = 3x².

Производная второй функции равна:

у' = (2 х) ' = 2.

Следовательно, производная функции y = x² + 2x равна:

f' (x) = (x³ + 2x) ' = (x³) ' + (2 х) ' = 3x² + 2.

Находим значение производной функции f (x) = x³ + 2x в точке x = - 1

Подставляя значение х = - 1 в выражение для производной функции f' (x) = 3x² + 2, получаем:

f' (-1) = 3 * (-1) ² + 2 = 3 + 2 = 5.

Находим значение самой функции f (x) = x³ + 2x в точке x = - 1

Подставляя значение х = - 1 в выражение уравнение функции f (x) = x³ + 2x, получаем:

f (-1) = (-1) ³ + 2 * (-1) = - 1 - 2 = - 3.

Записываем уравнение касательной

Подставляя все найденные значения в общее уравнение касательной для функции f (x), получаем:

у = 5 * (х - (-1)) + (-3);

у = 5 * (х + 1) - 3;

у = 5 х + 5 - 3;

у = 5 х + 2.

Ответ: искомое уравнение касательной у = 5 х + 2.

1. Уравнение касательной по общей формуле имеет вид:

у = f (x0) + f ' (x0) (x - x0);

2. Найдем f (x0):

f ( - 1) = ( - 1) 3 + 2 ( - 1) = - 1 - 2 = - 3;

3. Найдем производную f ' (x):

f ' (x) = 3 х2 + 2;

4. Найдем производную f ' (x0):

f ' (-1) = 3 ( - 1) 2 + 2 = 3 + 2 = 5;

5. Полученные данные подставляем в уравнение касательной:

у = f (x0) + f ' (x0) (x - x0) = - 3 + 5 (х + 1) = - 3 + 5 х + 5 = 5 х + 2.

Ответ: у = 5 х + 2.