Найти наименьшую высоту треугольника со стороной 17 см, 65 см, 80 см.

Как известно, площадь треугольника (S) равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h) : S = ½ * a * h. Однако, площадь треугольника (S) можно найти и по формуле Герона, согласно которой площадь треугольника равна корню из произведения полупериметра и трёх разностей полупериметра треугольника (p) и каждой из его сторон (a, b, c) : S = √ (р * (р - а) * (р - b) * (р - с)), где р = (a + b + c) / 2 - полупериметр. Поскольку, а = 17 см, b = 65 см и с = 80 см, то имеем: р = (17 см + 65 см + 80 см) / 2 = 162 см / 2 = 81 см. Следовательно, р - а = 81 см - 17 см = 64 см, р - b = 81 см - 65 см = 16 см, р - с = 81 см - 80 см = 1 см, Таким образом, S = √ ((81 см) * (64 см) * (16 см) * (1 см)) = (9 * 8 * 4 * 1) см² = 288 см². Очевидно, что наименьшей высотой треугольника будет, высота (h), опущенная на её наибольшую сторону. Среди трёх сторон данного треугольника, наибольшей стороной является сторона с = 80 см. Следовательно, наименьшую высоту h_с треугольника определим из равенства 288 см² = ½ * (80 см) * h_с. Имеем: h_с = (288 см²) : (40 см) = 7,2 см.

Ответ: 7,2 см.