1. Найти промежутки монотонности для функции y=x^3+8.5x^2+10x

1. Находим производную функции:

y = x^3 + 8,5x^2 + 10x; y' = 3x^2 + 17x + 10.

2. Приравниваем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:

3x^2 + 17x + 10 = 0; D = 17^2 - 4 * 3 * 10 = 289 - 120 = 169; x = (-17 ± √169) / (2 * 3) = (-17 ± 13) / 6; x1 = (-17 - 13) / 6 = - 30/6 = - 5; x2 = (-17 + 13) / 6 = - 4/6 = - 2/3.

3. Разбиваем координатную прямую на три промежутка и определяем знаки производной:

1) x ∈ (-∞; - 5) = > f' (x) > 0 = > функция возрастает; 2) x ∈ (-5; - 2/3) = > f' (x) функция убывает; 3) x ∈ (-2/3; ∞) = > f' (x) > 0 = > функция возрастает.

Ответ:

1) возрастает на промежутках (-∞; - 5] и [-2/3; ∞); 2) убывает на промежутке [-5; - 2/3].