Y = (x+3) / (x+8) исследовать функцию

у = (x + 3) / (x + 8).

1) Вычислим область определения и область значений данной функции.

D (f) = R, кроме х = - 8 (знаменатель дроби не может быть равен 0).

E (f) = R, у любое число.

2) Вычислим нули функции, найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0.

(x + 3) / (x + 8) = 0;

x + 3 = 0;

x = - 3.

График функции пересекает ось х в точке (-3; 0).

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0.

у = (0 + 3) / (0 + 8) = 3/8.

График пересекает ось у в точке (0; 3/8).

3) Определим четность функции.

f (x) = (x + 3) / (x + 8).

f ( - x) = (-x + 3) / (-x + 8) = - (x - 3) / ( - (x - 8)) = (х - 3) / (х - 8).

f (x) не равно f (-x) и f (x) не равно - f (-x), значит функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

График пересекает ось х в точке - 3. Определим знак функции до этой точки и после.

Пусть х = - 4; у (-4) = (-4 + 3) / (-4 + 8) = - 1/4 (минус).

Пусть х = - 2; у (-2) = (-2 + 3) / (-2 + 8) = 1/6 (плюс).

у > 0 на промежутке (-3; + ∞).

y < 0 на промежутке (-∞; - 3).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f (x) = (x + 3) / (x + 8).

f' (x) = ((х + 3) ' (x + 8) - (x + 3) (x + 8) ') / (x + 8) ² = (х + 8 - х - 3) / (x + 8) ² = 5 / (x + 8) ².

Приравняем производную к нулю.

f' (x) = 0;

5 / (x + 8) ² = 0. Дробь никогда не будет равна нулю.

ОДЗ: х не равно - 8.

Так как значение дроби всегда положительно, то функция возрастает на промежутках (-∞; - 8) и (-8; + ∞).

Точек экстремума нет.