Решить уровнение log2 (2x-6) = 4-log2 (x-6)

Представим число 4 как логарифм с основанием 2: 4 = log₂16 (2^4 = 16).

Получается уравнение: log₂ (2x - 6) = log₂16 - log₂ (x - 6).

По формуле разности логарифмов: log₂16 - log₂ (x - 6) = log₂ (16 / (x - 6)).

Значит, log₂ (2x - 6) = log₂ (16 / (x - 6)).

Отсюда 2x - 6 = 16 / (x - 6).

Решаем уравнение:

1) По правилу пропорции: (2x - 6) (x - 6) = 16.

2) Раскрываем скобки, число 16 переносим в левую часть уравнения:

2 х^2 - 6 х - 12 х + 36 - 16 = 0;

3) Подводим подобные слагаемые:

2 х^2 - 18 х - 20 = 0;

4) Делим уравнение на 2:

х^2 - 9 х - 10 = 0;

5) Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = - 9; c = - 10;

D = b^2 - 4ac; D = (-9) ^2 - 4 * 1 * (-10) = 81 + 40 = 121 (√D = 11);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (9 - 11) / 2 = (-2) / 2 = - 1;

х₂ = (9 + 11) / 2 = 20/2 = 10.

Ответ: корни уравнения - 1 и 10.