Интеграл dx / (x-1) (x+2)

Разложим подинтегральную дробь на сумму элементарных дробей:

1 / [ (x - 1) * (x + 2) ] = A / (x - 1) + B / (x + 2) = [A * (x + 2) + B * (x - 1) ] / [ (x - 1) * (x + 2) ] = [ (A + B) * x + (2A - B) ] / [ (x - 1) * (x + 2) ];

решим систему уравнений:

A + B = 0 и 2A - B = 1;

A = 1/3; B = - 1/3.

Тогда

1 / [ (x - 1) * (x + 2) ] = 1 / [3 (x - 1) ] - 1 / [3 (x + 2) ],

а исходный интеграл будет равен

∫dx / [ (x - 1) * (x + 2) ] = 1/3 * ∫dx / (x - 1) - 1/3 * ∫dx / (x + 2) = 1/3 * ∫d (x-1) / (x - 1) - 1/3 * ∫d (x+2) / (x + 2) = 1/3 * ln|x-1| - 1/3 * ln|x+2| + 1/3 * lnC = 1/3 * ln|C (x-1) / (x+2) |.