Числа 3 и - 4 являются корнями уравнения x^3+x^2+ax+b=0. Найти а, b и третий корень этого уравнения.

Числа 3 и - 4 являются корнями уравнения, то есть х₁ = 3, х₂ = - 4. Подставляем вместо х эти числа.

x³ + x² + ax + b = 0.

х₁ = 3; 3³ + 3² + a * 3 + b = 0; 27 + 9 + 3 а + b = 0; 3 а + b = - 36.

х₂ = - 4; (-4) ³ + (-4) ² + a * (-4) + b = 0; - 64 + 16 - 4 а + b = 0; b - 4 а = 48.

Получилась система уравнений:

3 а + b = - 36 и b - 4 а = 48.

Решим систему методом сложения (вычтем из первого уравнения второе):

3 а + b - b + 4 а = - 36 - 48.

7 а = - 84.

а = - 12.

Найдем значение b, подставив а = - 12 в любое уравнение:

3 * (-12) + b = - 36

-36 + b = - 36;

b = 0.

Значит, уравнение имеет вид x³ + x² - 12x = 0.

Вынесем х: х (х² + х - 12) = 0.

Отсюда х₃ = 0 и х² + х - 12 = 0.

Ответ: а = - 12, b = 0, х₃ = 0.