Написать уравнения касательной к функции в точке х0: f (x) = (1+x^3) * (2x^2-x)

Рассмотрим функцию f (x) = (1 + x³) * (2 * x² - x) = 2 * х⁵ - х⁴ + 2 * х² - х. По требованию задания найдём уравнения касательной к графику данной функции в точке х₀. Прежде всего, отметим, что данная функция как многочлен 5-ой степени определена для всех х ∈ (-∞; + ∞) и является дифференцируемой везде функцией. Приведём уравнение касательной в общем виде: у = у₀ + f ' (x₀) * (х - х₀), где у₀ = f (x₀), а f ' (x₀) - значение производной f ' (x) в точке х₀. Имеем: f ' (x) = ((1 + x³) * (2 * x² - x)) ' = (2 * х⁵ - х⁴ + 2 * х² - х) ' = 10 * х⁴ - 4 * x³ + 4 * х - 1. Следовательно, искомое уравнение имеет вид: у = 2 * (х₀) ⁵ - (х₀) ⁴ + 2 * (х₀) ² - х₀ + (10 * (х₀) ⁴ - 4 * (х₀) ³ + 4 * (х₀) - 1) * (х - х₀) = (10 * (х₀) ⁴ - 4 * (х₀) ³ + 4 * (х₀) - 1) * х + 2 * (х₀) ⁵ - (х₀) ⁴ + 2 * (х₀) ² - х₀ - 10 * (х₀) ⁵ + 4 * (х₀) ⁴ - 4 * (х₀) ² + х₀ = (10 * (х₀) ⁴ - 4 * (х₀) ³ + 4 * (х₀) - 1) * х - 8 * (х₀) ⁵ + 3 * (х₀) ⁴ - 4 * (х₀) ².

Ответ: у = (10 * (х₀) ⁴ - 4 * (х₀) ³ + 4 * (х₀) - 1) * х - 8 * (х₀) ⁵ + 3 * (х₀) ⁴ - 4 * (х₀) ².