Найди производную функции y=x^2 / (x-1) в точке x0=3

Найдём производную данной функции: f (x) = (x^2) / (x - 1).

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

(u / v) ' = (u'v - uv') / v² (основное правило дифференцирования).

И так, найдем поэтапно производную:

1) (x^2) ' = (x^2) ' = 2 * x^ (2 - 1) = 2x;

2) (x - 1) ' = (x) ' + (1) ' = 1 * 1 * x^ (1 - 1) = 1.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f (x) ' = ((x^2 / (x - 1)) ' = ((x^2) ' * (x - 1) - (x^2) * (x - 1) ') / (x - 1) ^2 = (2x * (x - 1) - (x^2) * 1) / (x - 1) ^2 = (2x^2 - 2x - x^2) / (x - 1) ^2 = (x^2 - 2x) / (x - 1) ^2.

Вычислим значение производной в точке х0 = 3:

f (x) ' (3) = (3^2 - 2 * 3) / (3 - 1) ^2 = (9 - 6) / 2^2 = 3 / 4.

Ответ: f (x) ' = (x^2 - 2x) / (x - 1) ^2, a f (x) ' (3) = 3 / 4.