Найдите отношение объема конуса, описанного вокруг правильной треугольной пирамиды, к объему конуса, вписанного в эту пирамиду.

Находим высоту h равностороннего треугольника, лежащего в основании пирамиды (стороны равны а):

h = √ (a^2 - (a/2) ^2) = a√3/2.

Радиус описанной окружности R равен 2/3 высоты треугольника в основании:

R = (h/3) * 2 = ((a√3/2) / 3) * 2 = a√3/3.

Радиус вписанной окружности r равен 1/3 высоты треугольника в основании:

r = h/3 = (a√3/2) / 3 = a√3/6.

Площади оснований конусов:

S_R = пR^2 = п * (a√3/3) ^2 = п * (a^2 * 3) / 9 = (п * a^2) / 3.

S_r = пr^2 = п * (a√3/6) ^2 = п * a^2 * 3 / 36 = (п * a^2) / 12.

Объемы конусов одинаковой высоты относятся так, как площади их оснований:

V_R/V_r = S_R/S_r = ((п * a^2) / 3) / ((п * a^2) / 12) = 12/3 = 4.

Ответ. Объем описанного конуса в 4 раза больше объема вписанного конуса.