Найти производную сложной функции (ctg4x) ^ x

Найдём производную данной функции: y = (ctg 4x) ^x.

Воспользовавшись формулами:

(ctg x) ' = 1 / (sin^2 (x)) (производная основной элементарной функции).

(a^x) ' = a^x * ln a (производная основной элементарной функции).

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

y' = ((ctg 4x) ^x) ' = (4x) ' * (ctg 4x) ' * ((ctg 4x) ^x) ' = (4 * 1 * x^ (1 - 1)) * (1 / (sin^2 (4x))) * (ctg 4x) ^x * ln (ctg 4x) = (4 (ctg 4x) ^x * ln (ctg 4x)) / (sin^2 (4x)).

Ответ: y' = (4 (ctg 4x) ^x * ln (ctg 4x)) / (sin^2 (4x)).