1) Integral (n+x) e^nx dx 2) integral (n+x) Ln (x) dx 3) integral (корень nx+1/корень nx) ^2 dx 4) integral (n+1) ^x n^3x dx 5) integral (x+n) * Sin (x) dx

Задание состоит из 5 частей, в каждой из которых, задан интеграл. Вычислим значения всех интегралов, хотя такого требования в задании нет. В процессе вычислений воспользуемся разными способами, свойствам и формулами интегрирования.

Пусть S = ∫ ((n + x) * e^{n * x}) dx. Применяя формулу интегрирования по частям ∫u (x) dv (x) = u (x) * v (x) - ∫v (x) du (x), положим: u (x) = n + x и dv (x) = eⁿ ^{* x}dx. Тогда: du = dx и v (x) = (eⁿ ^{* x}) / n. Поэтому: S = ((n + x) / n) * eⁿ ^{* x} - ∫ ((eⁿ ^{* x}) / n) dx = (n + x) * eⁿ ^{* x} / n - (eⁿ ^{* x}) / n² + C. Пусть S = ∫ ((n + x) * ln (x)) dx. Применяя формулу интегрирования по частям, положим: u (x) = lnx и dv (x) = (n + x) dx. Тогда: du = (1 / x) dx и v (x) = x² / 2 + n * x. Поэтому: S = x * (x + 2 * n) * lnx / 2 - ∫ (x / 2 + n) dx = x * (x + 2 * n) * lnx / 2 - x² / 4 - n * x + C. Пусть S = ∫ ((√ (n * x + 1)) / √ (n * x)) ²dx. Имеем: S = ∫ ((n * x + 1) (n * x)) dx = ∫ ((n * x) / (n * x) + 1 / (n * x)) dx = ∫ (1 + 1 / (n * x)) dx = ∫1dx + ∫ (1 / (n * x)) dx = х + (1 / n) * ∫ (1 / х) dx = х + (1 / n) * lnx + С = х + lnx / n + С. Пусть S = ∫ ((n + 1) ^x * n^{3 * x}) dx = ∫ ((n + 1) ^x * (n³) ^x) dx = ∫ (((n + 1) * n³) ^x) dx = ((n + 1) * n³) ^x / ln ((n + 1) * n³). Пусть S = ∫ ((x + n) * sinx) dx. Применяя формулу интегрирования по частям, положим: u (x) = x + n и dv (x) = sinxdx. Тогда: du = dx и v (x) = - cosx. Поэтому: S = (x + n) * (-cosx) - ∫ (-cosx) dx = - (x + n) * cosx + sinx + C.