1. Радиус цилиндра 5 см, но его осевое сечение диагонали 20 см. Найти высоту цилиндра. 2. Радиус отношения усеченного конуса 4:7, но образующая конуса, длина которой 6 см образует угол усеченного основания цилиндра 30 градусов. Определить площадь поверхности и объем усеченного конуса.

Осевым сечением цилиндра есть прямоугольник, так как цилиндр и образован вращением прямоугольника вокруг своей стороны. Для удобства обозначим его АВСД.

Длина ВС равна двум радиусам:

ВС = r ∙ 2;

ВС = 5 ∙ 2 = 10 см.

Треугольник АВС есть прямоугольным, поэтому, применим теорему Пифагора:

АС² = АВ² + ВС²;

АВ² = АС² - ВС²;

АВ² = 20² - 10² = 400 - 100 = 300;

АВ = √300 = 17,32 см.

Ответ: высота цилиндра равна 17,32 см.

2.

Так как радиус большего основания (АК) и образующая (АВ) образуют угол 30°, то с помощью теоремы синусов можно найти высоту (ОК = BN):

Sin α = h : l;

h = Sin α ∙ l;

Sin 30° = ½ = 0,5;

BN = OK = ½ ∙ 6 = 3 см.

Теперь, применяя теорему Пифагора, найдем длину отрезка AN:

АВ² = ВN² + AN²;

AN² = АВ² - ВN²;

AN² = 6² - 3² = 36 - 9 = 25;

AN = √25 = 5 см.

Так как радиусы оснований относятся как 4:7, то выразим:

4 х - радиус меньшего основания ВО;

7 х - радиус большего основания АК.

Так как отрезок AN = 5 см, то:

7 х - 4 х = 5;

3 х = 5;

х = 5/3;

ВО = 5/3 · 4 = 20/3 = 6,67 см;

АК = 5/3 · 7 = 35/3 = 11,7 см.

Найдем площадь поверхности:

S = π (r₁ + r₂) l;

S = 3,14 · (6,67 + 11,7) · 6 = 3,14 · 18,3 · 6 = 345,4 см².

Найдем объем усеченного конуса:

V = 1/3 · π · h · (r₁² + r₁ · r₂ + r₂²);

V = 1/3 · π · 3 · (6,67² + 6,67 · 11,7 + 11,7²) = π · (44,49 + 6,67 · 11,7 + 136,89) = 3,14 · (44,49 + 78,04 + 136,89) = 3,14 · 259,42 = 814,58 см³.

Ответ: площадь поверхности равна 345,4 см², объем равен 814,58 см³.