Прямоугольный треугольник с катетами 30 см и 40 см вращается вокруг гепотенузы. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении.

Тело, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг своей гипотенузы, состоит из двух конусов с одним основанием. Для того, чтобы найти площадь поверхности такого тела, необходимо найти площадь боковой поверхности каждого конуса и суммировать эти значения площадей. Формула боковой поверхности конуса имеет вид S = πrl, где r - это радиус основания, а l - длина образующей. Образующая у каждого конуса своя и равна одному из катетов. Радиус основания это высота, проведенная из вершины прямого угла нашего прямоугольного треугольника, и рассчитывается по формуле h = ab / c, где a, b - это катеты, c - гипотенуза. Найдем длину гипотенузы по формуле Пифагора и вычислим h.

с = √ (a² + b²) = с = √ (30² + 40²) = 50 (см);

h = 30 * 40 / 50 = 24 (см).

r = h = 24 см.

Запишем полную формулу боковой поверхности и вычислим (π = 3,14):

S_пов = S₁ + S₂ = πr l₁ + πrl₂ = πr * (l₁ + l₂) = 3,14 * 24 * (30 + 40) = 3,14 * 24 * 70 = 5275,2 (см²).