Тригонометрия Упростить выражение: Sin a/1-cos a = 1+cos a / son a

Представим угол а как двойной угол (2 * а/2). Тогда для решения данного задания нам потребуются тригонометрические формулы двойного угла.

Формулы синуса и косинуса двойного угла Формула (1) нахождения косинуса двойного угла cos (2α) = 1 - 2sin² (α); формула (2) косинуса двойного угла cos (2α) = 2cos² (α) - 1; формула (3) косинуса двойного угла cos (2α) = cos² (α) - sin² (α); формула нахождения синуса двойного угла sin (2α) = 2sin (α) cos (α).

Преобразуем выражение.

Заменим угол а на двойной угол

sina / (1 - cosa) = (1 + cosa) / sina

sin (2 * a/2) / (1 - cos (2 * a/2)) = (1 + cos (2 * a/2)) / sin (2 * a/2)

1. По формуле синуса двойного угла распишем sin (2 * a/2) как 2sin (a/2) cos (а/2).

2sin (a/2) cos (а/2) / (1 - cos (2 * a/2)) = (1 + cos (2 * a/2)) / 2sin (a/2) cos (а/2)

2. Для того, чтобы выбрать, по какой формуле расписать косинус двойного угла, посмотрим на знаменатель в левой части уравнения. Нам нужно, чтобы ушла единица, поэтому здесь используем формулу (1) двойного угла.

А в числителе дроби, которая находится в правой части уравнения, используем формулу (2), тоже для того, чтобы ушла единица.

2sin (a/2) cos (а/2) / (1 - (1 - 2sin²а/2)) = ((1 + 2cos²а/2) - 1) / 2sin (a/2) cos (а/2)

3. Раскроем скобки, единицы сократятся.

2sin (a/2) cos (а/2) / 2sin²а/2 = 2cos²а/2/2sin (a/2) cos (а/2)

4. Проведем сокращение. В левой части сократятся 2sin (a/2), а в правой - 2cos (а/2).

cos (а/2) / sin (а/2) = cos (а/2) / sin (a/2)

5. Так как cosa/sina = ctga, то получается:

ctg (a/2) = ctg (a/2) (равенство верное)

sin a / (1 - cos a) = (1 + cos a) / sin a;

Умножим обе части на sin a и разделим на (1 + cos a);

sin²a / ((1 - cos a) (1 + cos a)) = 1;

Тогда получим равенство:

sin² a = (1 - cos a) (1 + cos a);

sin² а = 1 - cos² a;

Из основного тригонометрического тождества следует, что:

sin² a = sin² a;