Известно, что 3 х+у>=13. Докажите, что 4 х^2+у^2>=52

1. Преобразуем неравенство:

3 х + y ≥ 13; 3 х ≥ 13 - y.

2. При 3x ≥ 13 + y имеем:

{3 х ≥ 13 - y;

{3x ≥ 13 + y; 3 х ≥ 13; х ≥ 13/3; 4 х^2 + у^2 ≥ 4 * (13/3) ^2 ≥ 4 * (12/3) ^2 = 4^3 = 64 > 52.

3. При 3x ≤ 13 + y получим:

{3 х ≥ 13 - y;

{3x ≤ 13 + y; {y + (3 х - 13) ≥ 0;

{y - (3 х - 13) ≥ 0, отсюда: (y + (3 х - 13)) (y - (3 х - 13)) ≥ 0; y^2 - (3 х - 13) ^2 ≥ 0; y^2 ≥ (3 х - 13) ^2.

Тогда:

f (x) = 4 х^2 + у^2; f (x) ≥ 4 х^2 + (3 х - 13) ^2; f (x) ≥ 4 х^2 + 9x^2 - 78x + 169; f (x) ≥ 13 х^2 - 78x + 169; f (x) ≥ 13 (х^2 - 6x + 13); f (x) ≥ 13 ((х - 3) ^2 + 4); f (x) ≥ 13 (х - 3) ^2 + 52; f (x) ≥ 52.

Что и требовалось доказать.