Докажите, что последовательность (bn) является геометрической прогрессией, если bn=5n+1.

В задании дана последовательность чисел b_n, b₂, b₃, ..., b_n, ..., общий член которой может быть представлен в следующем виде b_n = 5^{n + 1}. Требуется доказать, что данная последовательность чисел является геометрической прогрессией. Воспользуемся так называемым характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство формулируется так: "Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению своих соседних членов". Таким образом, характеристическое свойство геометрической прогрессии утверждает, что при любом натуральном k ≥ 2 для геометрической прогрессии {b_n}, n = 1, 2, ..., справедливо равенство b_{k - 1} * b_{k + 1} = (b_k) ². Применяя свойства степеней, для данной геометрической прогрессии, имеем: b_{k - 1} * b_{k + 1} = 5^{k - 1 + 1} * 5^{k + 1 + 1} = 5^{k + k + 2} = 5^{2 * (k + 1)} = (5^{k + 1}) ² = (b_k) ². Что и требовалось доказать.