Известно, что lg 2=a, lg 3 = b Найдите : log 4 (12)

Найти: log₄12, если lg2 = a и lg3 = b.

Для решения данного задания надо знать некоторые свойства логарифмов.

Свойства алгоритма для решения Формула суммы логарифмов: log_ax + log_ay = log_a (x * y); Формула разности логарифмов: log_ax - log_ay = log_a (x : y); Формула замены основания логарифма: log_ax = log_cx/log_ca; Десятичный логарифм: lgx = log₁₀x. Представим логарифм в виде десятичного логарифма

1) Так как log_ax = log_cx/log_ca, заменяем основание логарифма на десятичный логарифм:

log₄12 = lg12/lg4

2) Десятичный логарифм из 12 можно представить в виде суммы логарифмов по формуле

log_a (x * y) = log_ax + log_ay

lg12 = lg (3 * 2 * 2) = lg3 + lg2 + lg2

3) Десятичный логарифм из 4 так же представляем в виде суммы логарифмов.

lg4 = lg (2 * 2) = lg2 + lg2

4) Получается выражение lg12/lg4 = (lg3 + lg2 + lg2) / (lg2 + lg2)

Так как lg2 = a и lg3 = b, то делаем замену.

lg12/lg4 = (b + a + a) / (a + a) = (b + 2a) / 2a

5) Разделим одну дробь на две с основанием 2 а:

(b + 2a) / 2a = b/2a + 2a/2a = b/2a + 1

Ответ: lg12/lg4 = b/2a + 1

Преобразуем выражение log4 (12).

Число 12 представим в виде произведения чисел 3 и 4:

log4 (4 * 3) =

Применим свойство логарифма: логарифм произведения равен сумме логарифмов:

log4 (4) + log4 (3) = 1 + log4 (3) =

Применим свойство перехода к новому основанию:

1 + lg3/lg4 = 1 + lg3 / (lg2^2) = 1 + lg3 / (2 * lg2) =

Вместо lg3 и lg2 подставим буквенные выражения:

1 + b / (2a).

Ответ: 1 + b / (2a).