Найти период функции y=3cos x + 4 sin x

Рассмотрим тригонометрическую функцию y = 3 * cosx + 4 * sinx. Прежде чем найти наименьший положительный период данной функции, преобразуем данную функцию следующим образом. y = 3 * cosx + 4 * sinx = 4 * sinx + 3 * cosx. Умножим и разделим выражение на √ (4² + 3²) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5. Тогда, получим: у = 5 * ((4/5) * sinx + (3/5) * cosx). Нетрудно заметить, что (4/5) ² + (3/5) ² = 1. Если сумма квадратов двух действительных чисел равна единице, то одно из этих чисел можно рассматривать как косинус, а другое как синус некоторого угла. Следовательно, существует угол φ, такой, что 4/5 = cosφ и 3/5 = sinφ. Воспользуемся формулой sin (α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ (синус суммы). Тогда, у = 5 * (sinx * cosφ + cosx * sinφ) = 5 * sin (x + φ). Теперь вспомним о том, что для функции y = sinх наименьшим положительным периодом является Т = 2 * π. Это означает, что при наименьшем Т = 2 * π для всех х ∈ (-∞; + ∞) выполняется равенство sin (х + Т) = sinх. Предположим, что для полученной функции у = 5 * sin (x + φ) угол Т₀ является наименьшим положительным периодом. Тогда, 5 * sin (x + Т₀ + φ) = 5 * sin (x + φ). Имеем x + Т₀ + φ = x + φ + 2 * π, откуда Т₀ = 2 * π.

Ответ: Наименьший положительный период данной функции равен 2 * π.