1. Биссиктрисы углов Аи Б выпуклого четырехугольника пересекаются в точке М, а быссиктрисы углов С иД пересекаются в точке Н. Точки М и Н различны, а прямая МН перпендикулярная АБ. Найдите наибольшее значение угла СНД, если угол БАД=80 градусов.

1. Пусть точка E = AД ∩ БC. Тогда Н - точка пересечения двух биссектрис треугольника CДE. Следовательно, она лежит и на биссектрисе ∠E, значит на этой биссектрисе лежит и точка M. Так как M ≠ Н, то MН совпадает с биссектрисой ∠E, а так как MН ⊥ AБ, то треугольник AБE равнобедренный. Итак, ∠B = 80°, ∠C + ∠D = 360° - 80° - 80° = 220°, НCД ∠НДC = 100°, ∠CНД = 180° - 100° = 80°.

2. AД ∥ БC, то точки M и Н не совпадать, но тогда и MН ∥ AД, а значит MН не перпендикулярная AБ, что противоречит условию.