1 + cos 8x = 2 cos 4x;

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла.

1 + cos 8x = 2 cos 4x равносильно:

1 + cos² 4x - sin² 4x = 2 cos 4x.

Из основного тригонометрического тождества следует:

2 cos² 4x = 2 cos 4x, что равносильно:

cos 4x (cos 4x - 1) = 0.

Отсюда имеем:

cos 4x = 0 или cos 4x = 1.

В первом случае: 4x = пи/2 + пи * k, где k - целое.

То есть x = пи/8 + пи * k/4, k ∈ Z.

Во втором случае: 4x = 2 * пи * k, где k - целое.

То есть х = пи * k/2, k ∈ Z.

Ответ: x = пи/8 + пи * k/4 или x = пи * k/2; k ∈ Z.