Найдите: (2sin^2 a - sin a * cos a+5cos^2 a) / 3sin^2 a+cos^2 a, если ctg=2

Определение и свойство функции ctgx

1. Отношение тригонометрических функций косинус и синус для одного и того же угла называется котангенс и обозначается ctgx:

ctgx = cosx/sinx.

2. Функция ctgx определена при тех значениях аргумента, для которых синус не равен нулю:

sinx ≠ 0; x ≠ πk, k ∈ Z; D (f) = (πk, π + πk), k ∈ Z.

3. Область значений функции - все множество действительных чисел: E (f) = R.

4. На промежутке (0; π) функция монотонно убывает и охватывает всю область своих значений: (-∞; ∞), в связи с чем при определении обратной ей тригонометрической функции выделяется интервал (0; π):

arcctgx ∈ (0, π).

Вычисление значения заданного выражения

1. Во избежание длинных преобразований обозначим тригонометрическое выражение через X:

X = (2sin^2 (a) - sina * cosa + 5cos^2 (a)) / (3sin^2 (a) + cos^2 (a)).

2. Поскольку в числителе и знаменателе дроби все одночлены имеют вторую степень по отношению к sina и cosa, то, разделив числитель и знаменатель дроби на sin^2 (a), получим дробь, содержащую только тригонометрическую функцию ctga:

X = { (2sin^2 (a) - sina * cosa + 5cos^2 (a)) / sin^2 (a) }/{ (3sin^2 (a) + cos^2 (a)) / sin^2 (a) }; X = {2sin^2 (a) / sin^2 (a) - sina * cosa/sin^2 (a) + 5cos^2 (a) / sin^2 (a) }/{3sin^2 (a) / sin^2 (a) + cos^2 (a) / sin^2 (a) }; X = (2 - ctga + 5ctg^2 (a)) / (3 + ctg^2 (a)). (1)

3. Подставим значение ctga = 2 в уравнение (1) и вычислим значение дроби:

X = (2 - 2 + 5 * 2^2) / (3 + 2^2); X = (5 * 4) / (3 + 4); X = 20/7.

Ответ: 20/7.

1. Обозначим данное выражение Z и преобразуем его:

Z = (2sin^2 (a) - sina * cosa + 5cos^2 (a)) / (3sin^2 (a) + cos^2 (a)).

2. Разделим числитель и знаменатель дроби на sin^2 (a):

Z = (2sin^2 (a) / sin^2 (a) - sina * cosa/sin^2 (a) + 5cos^2 (a) / sin^2 (a)) / (3sin^2 (a) / sin^2 (a) + cos^2 (a) / sin^2 (a));

Z = (2 - ctga + 5ctg^2 (a)) / (3 + ctg^2 (a)).

3. Подставим значение ctga в полученное выражение и вычислим его значение:

Z = (2 - 2 + 5 * 2^2) / (3 + 2^2);

Z = (5 * 4) / (3 + 4);

Z = 20/7.

Ответ: 20/7.