Найти частную производную первого порядка:z=arctg y/x.

Найдём производную нашей данной функции: f (х) = (аrсtg х) * е^2 х.

Воспользовавшись основными формулами и правилами дифференцирования:

(х^n) ' = n * х^ (n-1).

(е^х) ' = е^х.

(аrсtg х) ' = (1 / (1 + х^2)).

(с) ' = 0, где с - сonst.

(с * u) ' = с * u', где с - сonst.

(uv) ' = u'v + uv'.

(u ± v) ' = u' ± v'.

y = f (g (х)), y' = f'u (u) * g'х (х), где u = g (х).

Таким образом, производная нашей данной функции будет следующая:

f (х) ' = ((аrсtg х) * е^2 х) ' = (аrсtg х) ' * е^2 х + (аrсtg х) * (е^2 х) ' = (1 / (1 + х^2)) * е^2 х + (аrсtg х) * 2 е^ (2 х) = (е^2 х / (1 + х^2)) + (аrсtg х) * 2 е^ (2 х).

Ответ: Производная нашей данной функции будет равна f (х) ' = (е^2 х / (1 + х^2)) + (аrсtg х) * 2 е^ (2 х).