1/cos^2+3 tgx - 5=0 указать корни, принадлежащие отрезку (-пи; пи/2)

Для того, чтобы решить уравнение 1 / cos²х + 3 * tgx - 5 = 0 воспользуемся формулой 1 + tg²α = 1 / cos²α. Имеем 1 + tg²x + 3 * tgx - 5 = 0 или tg²x + 3 * tgx - 4 = 0. Введём новую переменную у = tgx. Тогда получим квадратное уравнение у² + 3 * у - 4 = 0, которое имеет два различных корня, так как его дискриминант D = 3² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25 > 0. Вычислим эти корни у₁ = - 4 и у₂ = 1. Итак, нужно исследовать два случая: А) tgx = - 4 и Б) tgx = 1. А) tgx = - 4. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующее решение: х = arctg (-4) + π * n, где n - целое число. Воспользуемся нечётностью арктангенса. Имеем х = - arctg4 + π * n. Теперь нужно из этой серии выделить решения, которые принадлежат интервалу (-π; π/2). Поскольку у = arctgх - возрастающая функция в (-π/2; π/2), то из неравенства √3 < 4 следует, что arctg√3 = π/3 < arctg4 < π/2, откуда 1/3 < (arctg4) / π < 1/2. Имеем - π < - arctg4 + π * n < π/2 или arctg4 - π < π * n < arctg4 + π/2, откуда (arctg4) / π - 1 < n < (arctg4) / π + 1/2. С учётом последнего двойного неравенства из п. 4, имеем: - 2/3 < n < 1. Очевидно, что это неравенство выполнится только при n = 0. Тогда имеем одно решение данного уравнения х = - arctg4, принадлежащего отрезку (-π; π/2). Б) tgx = 1. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующие две серии решений: х = π/4 + 2 * π * k, где k - целое число; х = 5 * π/4 + 2 * π * m, где m - целое число. Теперь нужно из этих серий выделить решения, которые принадлежат интервалу (-π; π/2). Исследуем первую серию. Имеем - π < π/4 + 2 * π * k < π/2 или - 5 * π/4 < 2 * π * k < π/4, откуда - 5/8 < k < 1/8. Очевидно, что это неравенство выполнится только при k = 0. Следовательно, имеем ещё одно решение данного уравнения х = π/4, принадлежащего отрезку (-π; π/2). Аналогично, исследуем вторую серию. Имеем - π < 5 * π/4 + 2 * π * m < π/2 или - 9 * π/4 < 2 * π * m < - 3 * π/4, откуда - 9/8 < m < - 3/8. Очевидно, что это неравенство выполнится только при m = - 1. Следовательно, имеем ещё одно решение данного уравнения х = 5 * π/4 + 2 * π * (-1) = - 3 * π/4, принадлежащего отрезку (-π; π/2). Полученные три решения оформим в виде множества: {-3 * π/4; - arctg4; π/4}.

Ответ: х ∈ {-3 * π/4; - arctg4; π/4}.