Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 120?

Пусть дан натуральный ряд 1, 2 ... n. Найти сколько n нужно сложить, чтобы получить 120?

Сумма n чисел определим по формуле суммы n членов арифметической прогрессии:

sn = (a1 + an) * n/2, а1 = 1, an = n,

(1 + n) * n/2 = 120, n + n^2 = 240, n^2 + n - 240 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение:

n1,2 = - 1/2 + - √[ (-1/2) ^2 - (-240) ] = - 1/2 + - √[ (+1/4) + 240] =

- 1/2 + - √[1 + 4 * 240]/4 = [-1 + - √961]/2 = (-1 + - 31) / 2.

n1 = (-1 + 31) / 2 = 30/2 = 15, n2 = (-1 - 31) / 2 = - 16.

Используем только положительное решение n1 = 15.