Решите уравнение: 2^x=2^ (3-x) + 7

Перенесем все в левую часть и распишем составную степень второй двойки:

2^x - 2 ^{(3 - x)} - 7 = 0.

2^x - 2³ * 2 ^(-х) - 7 = 0.

2^x - 8 * 2 ^(-х) - 7 = 0.

Избавляемся от минуса в степени:

2^x - 8/2^х - 7 = 0.

Умножим все уравнение на 2^х:

(2^x) ² - 8 - 7 * 2^x = 0.

Введем новую переменную, пусть 2^х = а.

а² - 8 - 7 а = 0.

Получилось квадратное уравнение:

а² - 7 а - 8 = 0.

D = (-7) ² - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81 (√D = 9);

a₁ = (7 - 9) / 2 = - 2/2 = - 1.

a₂ = (7 + 9) / 2 = 16/2 = 8.

Вернемся к замене 2^х = а.

Если а = - 1; 2^х = - 1 (нет корней, 2^х всегда положительно).

Если а = 8; 2^х = 8; 2^х = 2³; х = 3.

Ответ: х = 3.