Два бегуна стартовали одновременно из одной точки. Сначала они бежали по улице до стадиона, а потом до финиша-три круга по стадиону. Всю дистанцию они бежали с постоянными скоростями и в ходе забега 1-ый бегун дважды обогнал второго. Докажите, что первый бежал по крайней мере вдвое быстрее, чем второй

1. Рассмотрим крайний случай, когда после первого круга первого бегуна второй бегун оказался впереди. Тогда ему останется еще два круга, и он должен успеть к финишу прежде, чем второй совершит свой первый круг, в противном случае он не сможет дважды обогнать его. Отсюда получим неравенство:

2L : v1 ≤ L : v2, где (1) v1, v2 - скорости бегунов; L - длина окружности.

2. Из неравенства (1) получим:

2Lv2 ≤ Lv1; v2 ≤ Lv1/2L; v2 ≤ v1/2; v1 ≥ 2v2.

Скорость первого бегуна по крайней мере вдвое больше скорости второго, что и требовалось доказать.