Cos²x+cos²2x=cos²3x Решить уравнение

Решите уравнение:

cos²x + cos² (2x) = cos² (3x).

Решение.

1. Преобразуем уравнение, применив формулы для суммы и разности косинусов:

сos²x + cos² (2x) = cos² (3x);

сos²x - cos² (3x) + cos² (2x) = 0;

(сosx + cos (3x)) * (сosx - cos (3x)) + cos² (2x) = 0;

2 * cosx * cos (2x) * 2 * sinx * sin (2x) + cos² (2x) = 0;

2 * sin² (2x) * cos (2x) + cos² (2x) = 0;

cos (2x) * (2sin² (2x) + cos (2x)) = 0;

cos (2x) * (2 - 2cos² (2x) + cos (2x)) = 0.

1) cos (2x) = 0;

2x = π/2 + πk;

x = π/4 + πk/2, k ∈ Z.

2) 2 - 2cos² (2x) + cos (2x) = 0;

2cos² (2x) - cos (2x) - 2 = 0;

D = 1 + 16 = 17;

cos (2x) = (1 ± √17) / 4.

a) cos (2x) = (1 + √17) / 4 > 1, не имеет решений.

b) cos (2x) = (1 - √17) / 4 = - (√17 - 1) / 4;

2x = π ± arccos ((√17 - 1) / 4) + 2πk;

x = π/2 ± 1/2arccos ((√17 - 1) / 4) + πk, k ∈ Z.

Ответ: π/4 + πk/2; π/2 ± 1/2arccos ((√17 - 1) / 4) + πk, k ∈ Z.