Внутри равностороннего треугольника АВС взята такая точка Е, что треугольники АВЕ, ВСЕ, АСЕ равны. найдите величины углов каждого из этих треугольников.

Рассмотрим треугольники ∆АВЕ и ∆СВЕ: ЕВ - общая сторона, АВ = СВ - т. к. ∆АВС - равносторонний, следовательно верно равенство следующих углов:

АЕВ = СЕВ, ВАЕ = ВСЕ, АВЕ = СВЕ.

Теперь рассмотрим треугольник ∆АЕС: сторона АЕ общая с ∆АВЕ, сторона ЕС общая с ∆СВЕ, получаем, что равны углы АЕС = АЕВ = СЕВ.

Т. к. АЕС + АЕВ + СЕВ = 360, то АЕС = АЕВ = СЕВ = 360 / 3 = 120°.

Т. к. АЕ = ЕС, следовательно ∆АЕС - равнобедренный и углы ЕАС и ЕСА равны.

АЕС + ЕАС + ЕСА = 180; ЕАС + ЕСА = 60; ЕАС = ЕСА = 30°.

Из равенства треугольников ∆АВЕ, ∆ВСЕ, ∆АСЕ имеем, что:

ЕАС = ЕСА = ЕВА = ВАЕ = ЕВС = ВСЕ = 30°.

Ответ: АЕС = АЕВ = СЕВ = 120°; ЕАС = ЕСА = ЕВА = ВАЕ = ЕВС = ВСЕ = 30°.