В трапеции ABCD (AD||BC) точка М лежит на стороне CD, причем CM:MD=2:3, AB=AD, BC:AD=1:3. Доказать что BD перпендикулярна AM.

Насколько я понимаю, это получилась прямоугольная тропеция. я отметила у себя на чертеже, что ты указала в своём вопросе. Для решения задачи стоит провести диагональ MB, после чего получится параллелограмм, но ели перевернуть, то это будет вытянутый ромб. Остаётся лишь доказать что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. По определению ромба, все его стороны равны, в частности AB=AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный. Диагонали ромба точкой пересечения O делятся пополам (тк. ромб это параллелограмм). Следовательно отрезок AO-медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, значит так же является высотой и биссектрисой. Поэтому AC перпендикулярна BD, а угол BAC = углу DAC, что и требовалось доказать.