Периметер равностороннего треугольника 144 см точка м равноудалена от каждой стороны этого треугольника на 19 см найдите расстояние от точки м к плоскости треугольника

Если периметр равностороннего треугольника равен 144 см, то каждая из его сторон равна:

а = 144 / 3 = 48 см.

Точка М, равноудаленная от всех сторон заданного треугольника, является вершиной правильной треугольной пирамиды, основанием которой является данный по условию равносторонний треугольник. Расстояние от точки М до плоскости треугольника - высота пирамиды, расстояние от точки М до сторон треугольника - апофемы равных боковых граней.

Высота пирамиды h, апофема боковой грани l и проекция апофемы боковой грани образуют прямоугольный треугольник. Проекция апофемы боковой грани совпадает с радиусом вписанной окружности r, который можно найти по формуле r = a / 2√3, где а - сторона основания.

r = 48 / 2√3 = 24 / √3.

По теореме Пифагора:

h² = l² - r² = 19² - (24 / √3) ² = 361 - 576 / 3 = 361 - 192 = 169 = 13²;

h = 13 - расстояние от точки М до плоскости треугольника.