Треугольник АВС. угол А в 2 раза больше угла С. АВ=8, ВС=12. НАЙТИ ДЛИНУ АС

Обозначим величину угла С через α.

Согласно условию задачи, угол А в 2 раза больше угла С, следовательно, величина угла А должна быть равно 2α, а величина угла В - 180 - α - 2α = 180 - 3α.

По условию задачи, |АВ| = 8 и |ВС|=12, следовательно, применяя теорему синусов, получаем:

8/sin (α) = 12/sin (2α),

откуда следует:

sin (2α) / sin (α) = 12/8:

2sin (α) cos (α) / sin (α) = 3/2;

2cos (α) = 3/2;

cos (α) = 3/4.

Находим sin (α):

sin (α) = √ (1 - (cos (α)) ^2) = √ (1 - (3/4) ^2) = √ (1 - 9/16) = √7/4.

Находим sin (3α):

sin (3α) = 3sin (α) - 4sin^3 (α) = 3 * √7/4 - 4 * (√7/4) ^3 = 3√7/4 - 7√7/16 = 5√7/16.

Применяя теорему синусов, находим |АС|:

|АС| = sin (180 - 3α) * 8/sin (α) = sin (3α) * 8/sin (α) = (5√7/16) * 8 / (√7/4) = (5√7/2) / (√7/4) = (5√7/2) * 4/√7 = 10.

Ответ: |АС| = 10.